Description

FICHE DESCRIPTIVE DU MODULE

Analyse 5 – Topologie de ℝⁿ et Fonctions de Plusieurs Variables
Semestre : S3 – Filière MIP
Enseignant : Pr. S. Saadi et Pr Malika IZID
Année universitaire : 2025/2026

1. Présentation générale du module

Le module Analyse 5 constitue un socle fondamental pour l’étude de l’analyse en dimension supérieure. Il introduit les notions de topologie de ℝⁿ, les fonctions à plusieurs variables, la continuité, la différentiabilité, les extrema, ainsi que des théorèmes essentiels comme l’inversion locale et les fonctions implicites.
Ce module prépare les étudiants aux cours avancés en analyse, optimisation, équations différentielles et géométrie.

2. Volume horaire

• Cours magistral : 24 h
• Travaux dirigés : 24 h
• Total : 48 h

3. Objectifs du module

À l’issue du module, l’étudiant devra être capable de :

1. Maîtriser les structures topologiques de base sur ℝⁿ (normes, distances, ouverts, fermés, voisinages).
2. Décrire et analyser les comportements des fonctions de plusieurs variables (limite, continuité).
3. Calculer et interpréter les dérivées partielles, la différentielle et la matrice jacobienne.
4. Étudier les extrema locaux de fonctions multivariées.
5. Appliquer les théorèmes de composition, d’inversion locale et des fonctions implicites.
6. Utiliser formellement les outils de différentiabilité pour résoudre des problèmes en sciences appliquées.

4. Contenu détaillé

Chapitre I : Espaces vectoriels normés et topologie de ℝⁿ

• Distances, normes usuelles, équivalence des normes.
• Boules ouvertes et fermées, sphères.
• Parties bornées, voisinages, notions d’ouvert et de fermé.
• Intérieur, adhérence, frontière.
• Suites dans ℝⁿ : convergence, compacité, caractérisation des fermés.
• Connexité, connexité par arcs, convexité.

Chapitre II : Fonctions de plusieurs variables – Limite et Continuité

• Fonctions numériques et vectorielles.
• Domaines de définition et graphes.
• Limites multivariées, caractérisations (séquentielle, polaire).
• Continuité, opérations, composition, fonctions polynomiales et rationnelles.
• Images des compacts et des connexes.

Chapitre III : Différentiabilité

• Définition de la différentielle en ℝⁿ.
• Propriétés générales, application affine tangente.
• Dérivées partielles et matrice jacobienne.
• Théorème de Schwarz, fonctions de classe Cᵏ.
• Formule de Taylor multivariée.
• Formule des accroissements finis.

Chapitre IV : Extrema et Théorèmes fondamentaux

• Conditions nécessaires d’extrema.
• Étude du hessien en dimension 2 (r, s, t).
• Points selle, maxima, minima locaux.
• Théorème des fonctions implicites (cas simple et cas général).
• Théorème d’inversion locale et difféomorphismes.

5. Modalités d’évaluation

• Contrôle continu : 30%
  • Devoirs, petits tests, exercices dirigés.
• Examen final : 70%
  • Problèmes d’application, démonstrations, étude complète de fonctions multivariées.

6. Bibliographie indicative

• Calculus of Several Variables – Spivak
• Analyse en plusieurs variables – H. Cartan
• Advanced Calculus – R. Courant
• Supports du cours de Pr. S. Saadi (document fourni)

Compétences visées

Capacité à modéliser des phénomènes multidimensionnels. Rigueur logique dans la manipulation des objets topologiques. Maîtrise des calculs multivariés (jacobienne, hessien). Aptitude à analyser la régularité des applications. Préparation aux modules avancés d’analyse, géométrie et optimisation.

À qui s'adresse ce cours ?

étudiants de S3 – Filière MIP

Prérequis

Analyse en une variable (limites, continuité, dérivation). Notions d’espaces vectoriels de base. Maîtrise des outils de calcul algébrique.